Question

設函數f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c為實常數且a＞0），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3．
（Ⅰ） 若函數f（x）無極值點且f'（x）存在零點，求a，b，c的值；
（Ⅱ） 若函數f（x）有兩個極值點，證明f（x）的極小值小于．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3，建立方程組，根據即f（x）無極值點且f'（x）存在零點，可求a的值，進而可求b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函數f（x）有兩個極值點，只要方程2ax²-ax+3-a=0有兩個不等正根，可得a的范圍，設兩正根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，可知當x=x₂時，有極小值f（x₂），證明f（x₂）在上單調遞增，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：求導函數可得，
由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3，可得得，
即，∴．
此時f（x）=ax²-ax+（3-a）lnx，；
由f（x）無極值點且f'（x）存在零點，得a²-8a（3-a）=0（a＞0）
解得，于是，．…（7分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，要使函數f（x）有兩個極值點，只要方程2ax²-ax+3-a=0有兩個不等正根，
那么實數a應滿足 ，解得，
設兩正根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，可知當x=x₂時，有極小值f（x₂）．
其中這里，由于對稱軸為，所以，且，得
記g（x）=x²-x-lnx，，有對恒成立，
又g（1）=0，故對恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0．
所以有=
而對于恒成立，
即f（x₂）在上單調遞增，故．…（15分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．