【題目】設(shè)X是有限集，t為正整數(shù)，F是包含t個子集的子集族：F=
.如果F中的部分子集構(gòu)成的集族S滿足：對S中任意兩個不相等的集合A、B，
均不成立，則稱S為反鏈.設(shè)S1為包含集合最多的反鏈，S2是任意反鏈.證明：存在S2到S1的單射f，滿足
或
成立.
【答案】證明見解析
【解析】
記|S1|=r，稱包含r個元素的反鏈為最大反鏈，最大反鏈可能不唯一
稱F的子集P為鏈，如果
之一成立.
我們證明結(jié)論：F可以拆分為r個鏈
的并(即Dilworth定理).
對t進行歸納證明.t=1時顯然成立.設(shè)命題對t－1成立，先假設(shè)存在一個最大反鏈S，使得F中既有集合真包含S中的某個集合，也有集合是S中的某個集合的真子集.記前者的全體為F1，后者的全體為F2，即
包含S中的某個集合
，
是S中的某個集合的子集，
則
均是F的真子集，從而由歸納假設(shè)可將都可以拆成r個鏈的并.
中的鏈以S中的元素開始，
中的鏈以S中的元素結(jié)束.將這些鏈“接”起來就將F分成了r條鏈.
現(xiàn)在假設(shè)不存在這樣的反鏈，從而每個最大反鏈要么滿足
，要么滿足
.前者意味著S中的子集都是“極大”子集(不是另一個Ai的真子集)，后者意味著S中的子集都是“極小”子集(不真包含另一個Ai)，從而至多有兩個最大反鏈.如果極大子集構(gòu)成的反鏈和極小子集構(gòu)成的反鏈均為最大反鏈，則任取極大子集A，以及極小子集
，將A、B都去掉用歸納假設(shè)將剩下的集合拆分成r－1條鏈，再加上鏈即可如果其中之一不是最大反鏈，不妨設(shè)極大子集構(gòu)成的反鏈是唯一的極大反鏈，任意去掉一個極大子集歸納即可.結(jié)論證畢.
現(xiàn)在將F拆分成r條鏈，則每條鏈中恰有一個S1中的子集，且至多有一個S2中的子集.將每個S2中的子集對應到所在鏈中S1的元素，就得到了從S2到S1滿足要求的映射.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，△ABD沿對角線BD翻折，形成三棱錐A﹣BCD．
①當
時，三棱錐A﹣BCD的體積為
；
②當面ABD⊥面BCD時，AB⊥CD；
③三棱錐A﹣BCD外接球的表面積為定值．
以上命題正確的是_____．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面為直角梯形，
，
，
，
為
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
（Ⅱ）若平面
平面
，異面直線
與
所成角為60°，且
是鈍角三角形，求二面角
的正弦值
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正三棱柱
（側(cè)棱垂直于底面，且底面三角形
是等邊三角形）中，
，
分別是
的中點.
（1）求證：平面
∥平面
；
（2）在線段
上是否存在一點
使
平面
？若存在，確定點的位置；若不存在，也請說明理由.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，圓
：
，直線
：
.
為圓內(nèi)一點，弦
過點
，過點作的垂線交于點
.
（1）若
，求
的面積；
（2）判斷直線
與圓的位置關(guān)系，并證明.
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的離心率是
，過點
做斜率為
的直線
，橢圓
與直線交于
兩點，當直線垂直于
軸時
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當變化時，在
軸上是否存在點
，使得
是以
為底的等腰三角形，若存在求出
的取值范圍，若不存在說明理由．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】定義：從數(shù)列{an}中抽取m（m∈N，m≥3）項按其在{an}中的次序排列形成一個新數(shù)列{bn}，則稱{bn}為{an}的子數(shù)列；若{bn}成等差（或等比），則稱{bn}為{an}的等差（或等比）子數(shù)列．
（1）記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知
．
①求數(shù)列{an}的通項公式；
②數(shù)列{an}是否存在等差子數(shù)列，若存在，求出等差子數(shù)列；若不存在，請說明理由．
（2）已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n+a（a∈Q+），證明：{an}存在等比子數(shù)列．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)
，設(shè)
是定義在
上的函數(shù).
（ⅰ）證明：
在上為單調(diào)遞增函數(shù)(
是
的導函數(shù))；
（ⅱ）討論的零點個數(shù).
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】過正四面體ABCD的頂點A作一個形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面BCD所成的角為
，這樣的截面有（ ）
A.6個B.12個C.16個D.18個
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com