Question

【題目】以邊長為的正三角形的頂點為坐標原點，另外兩個頂點在拋物線上，過拋物線的焦點的直線過交拋物線于兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）求證： 為定值；

（3）求線段的中點的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系列方程組可求得，則拋物線的方程為.

(2)聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算計算可得為定值；

(3) 設(shè)線段的中點為，則 消去參數(shù)可得中點的軌跡方程為.

試題解析：

（1）因為正三角形和拋物線都是軸對稱圖形，且三角形的一個頂點扣拋物線的頂點重合，所以，三角形的頂點關(guān)于軸對稱，如圖所示.

由可得，

∵，∴.

∴拋物線的方程為.

（2）易知拋物線： 的焦點，設(shè)直線，并設(shè)點.

由可得，∴

∴，

∵，∴ .

（3）設(shè)線段的中點為，

則

消去得線段的中點為的軌跡方程為.