Question

已知f（x）=x|x-a|-2
（1）當a=1時，解不等式

f(x)

x-3

＞0；
（2）當x∈[0，2]時，不等式f（x）＜0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用絕對值的幾何意義，將絕對值符合化去，解所得不等式即可；
（2）當x=0時，f（x）＜0恒成立．當x∈（0，2]時，x|x-a|-2＜0．即x|x-a|＜2．即x-

2

x

＜a＜x+

2

x

令g(x)=x-

2

x

，h(x)=x+

2

x

，x∈(0，2]，則有g（x）_max＜a＜h（x）_min，故可得出答案．

解答：解：（1）a=1時，

f(x)

x-3

＞0即

x|x-1|-2

x-3

＞0，
∴

x≥1 x(x-1)-2 x-3 ＞0

 或 

x＜1 x(1-x)-2 x-3 ＜0

∴1≤x＜2 或x＞3或x＜1
∴x∈（-∞，2）∪（3，+∞）
（2）當x=0時，f（x）＜0恒成立．
當x∈（0，2]時，x|x-a|-2＜0．即x|x-a|＜2．
∴x-

2

x

＜a＜x+

2

x

令g(x)=x-

2

x

，h(x)=x+

2

x

，x∈(0，2]
則有g（x）_max＜a＜h（x）_min．
而g(x)=x-

2

x

，x∈(0，2]單增，故g（x）_max=g（1）=1，
又h(x)=x+

2

x

≥2

2

，故h(x)min=2

2

所以a∈(1，2

2

)

點評：本題以函數為載體，考查解不等式，考查了函數恒成立問題，有一定的難度