Question

（2012•河南模擬）已知函數f（x）的導數f′（x）=2x-9，且f（0）的值為整數，當x∈（n，n+1]（n∈N^*）時，f（x）的值為整數的個數有且只有1個，則n=（　　）

A．2

B．6

C．8

D．4

Answer 1

分析：因為f'（x）=2x-9，所以可設f（x）=x²-9x+k，則f（0）=k為整數，由于n為正整數，可得f（n+1）及f（n）均為整數，函數的對稱軸為x=4.5，利用函數的最大值與最小值的差，可得結論．

解答：解：因為f'（x）=2x-9，所以可設f（x）=x²-9x+k，則
f（0）=k，依題意知k為整數，又n為正整數，所以f（n+1）及f（n）均為整數．
f（x）=x²-9x+k=（x-4.5）²-4.5²+k，是二次函數，開口向上，對稱軸為x=4.5
當x∈（4，5]時，f（x）_max-f（x）_min=f（5）-f（4.5）=0.25，又f（5）=-20+k∈Z，故只有1個整數f（5）．
即當x∈（4，5]時，f（x）的值為整數的個數有且只有1個
故選D

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數解析式的運用，屬于中檔題．