Question

已知函數f(x)=log

1

2

[ax2-(a-1)x-2]的值域為R，且f（x）在（2，5）上是減函數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、a＞0
• B、a≥0
• C、0≤a≤2
• D、-

  9

  2

  ≤a≤-4

Answer 1

分析：函數f(x)=log

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2

[ax2-(a-1)x-2]的值域為R等價于ax²-（a-1）x-2能取遍一切正實數，即△=a²-2a+1+8a≥0，解之a≤-3-2

2

或a≥-3+2

2

．再由f（x）在（2，5）上是減函數，根據復合函數的單調性可知

a-1 2a ≤2 4a-2(a-1)-2＞0 25a-5(a-1)-2＞0

，解得a＞0．取這兩種情況的交集得實數a的取值范圍．

解答：解：∵函數f(x)=log

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2

[ax2-(a-1)x-2]的值域為R，∴ax²-（a-1）x-2能取遍一切正實數，∴△=a²-2a+1+8a≥0，解之a≤-3-2

2

或a≥-3+2

2

．∵f（x）在（2，5）上是減函數，∴根據復合函數的單調性可知

a-1 2a ≤2 4a-2(a-1)-2＞0 25a-5(a-1)-2＞0

，解之a＞0．{a|a≤-3-2

2

或a≥-3+2

2

}∩{a|a＞0}={a|a≥-3+2

2

}，∴實數a的取值范圍是[-3+2

2

，+∞)．故上述四個選項均不對．正確答案是：實數a的取值范圍是[-3+2

2

，+∞)

點評：解這類問題一是要注意對數函數的值域為R時真數的取值范圍是全體正實數，二是要注意復合函數的單調性：同增異減．