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如圖,在△ABC中,AC=b,BC=a,a＜b,D是△ABC內一點,且AD=a,∠ADB+∠C=π.問∠C為何值時,凹四邊形ACBD的面積最大?并求出最大值.

解：設BD=x,在△ABC和△ABD中,根據余弦定理,得

AB2=a2+b2-2abcosC,

AB2=a2+x2-2axcos∠ADB

=x2+a2+2axcosC,

∴a2+b2-2abcosC=x2+a2+2axcosC,

即x2+2axcosC+(2acosC-b)b=0,

解得x=b-2acosC或x=-b(舍去).

于是凹四邊形ACBD的面積

S=S△ABC-S△ABD

=absinC-axsin∠ADB

=absinC-a(b-2acosC)sinC

=a2sin2C.

∴當∠C=時,凹四邊形ACBD的面積最大,最大值為a2,此時BD=b-a.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直徑BE的長；
（2）計算：△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，D是邊AC上的點，且AB=AD，2AB=
3
BD，BC=2BD，則sinC的值為（　　）
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，則
AD
=（　　）

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同步練習冊答案
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