Question

如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.求證：平面ABC⊥平面BSC.

Answer 1

【探究】 本題可以用兩種方法來證明，一是作平面的垂線而后證明它在另一個平面內(證法一)；二是在一個平面內找一條線段，證明它與另一個平面垂直(證法二).

證法一：作AD⊥平面BSC，D為垂足.

∵∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC，則AS=AB=AC，

∴D為△BSC的外心.又∠BSC=90°，

∴D為BC的中點，即AD在平面ABC內.

∴平面ABC⊥平面BSC.

證法二：取BC的中點D，連結AD、SD，易證AD⊥BC.又△ABS是正三角形，△BSC為等腰直角三角形，∴BD=SD.∴AD²+SD²=AD²+BD²=AB²=AS².

由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD，∴AD⊥平面BSC.

又AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.

【規律總結】 本題是證明面面垂直的典型例題，關鍵是將證明“面面垂直”的問題轉化為證明“線面垂直”的問題.