Question

已知F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，點A是上頂點．
（1）求圓C：（x+1）²+（y+2）²=1關于直線AF₂對稱的圓C'的方程；
（2）橢圓上有兩點M、N，若M、N滿足，（點M在x軸上方），問：圓C'上是否存在一點Q，使MQ⊥NQ？若存在，求出Q點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，點A是上頂點
∴F₂（1，0），A（0，1）
∴直線AF₂的方程為x+y﹣1=0
圓C：（x+1）²+（y+2）²=1的圓心坐標為C（﹣1，﹣2）
設C（﹣1，﹣2）關于直線AF₂對稱的點的坐標為（x，y）
∴∴
即C（﹣1，﹣2）關于直線AF₂對稱的點的坐標為（3，2）
∴圓C：（x+1）²+（y+2）²=1關于直線AF₂對稱的圓C'的方程為（x﹣3）²+（y﹣2）²=1；
（2）圓C'上不存在點Q，使MQ⊥NQ．
∵F₁是橢圓的左焦點，∴F₁（﹣1，0）
∵橢圓上點M滿足（點M在x軸上方），∴M（﹣1，）
∵橢圓上有兩點M、N，若M、N滿足
∴N（﹣1，﹣）
假設圓C'上存在一點Q，使MQ⊥NQ，
∵圓C'的方程為（x﹣3）²+（y﹣2）²=1
∴設Q（3+cosθ，2+sinθ）∴，
∴=0∴
∴
∴①
∵，
∴①式不成立，即假設不成立
∴圓C'上不存在點Q，使MQ⊥NQ．