Question

某商場統計了去年各個季度冰箱的進貨資金情況，得到如下數據：

季       度	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
進貨資金（單位：萬元）	42.6	38.3	37.7	41.4

（1）試求該商場去年冰箱的“季擬合進貨資金m”的值（m是這樣的一個量：它與各個季度進貨資金差的平方和最小）；
（2）該商場今年第一個季度對冰箱進貨時，計劃進貨資金比去年季擬合進貨資金增長25%．經調研發現，銷售“節能冰箱”和“普通冰箱”所得的利潤P（萬元）和Q（萬元）與進貨資金t（萬元）分別近似地滿足公式P=t和Q=，那么該商場今年第一個季度應如何分配進貨資金，才能使銷售冰箱獲得的利潤最大？最大利潤是多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用m與各個季度進貨資金差的平方和，結合配方法，求出最小，即可得到結論；
（2）求出今年第一季度的進貨資金，再構建函數關系式，利用換元、基本不等式，即可求得結論．
解答：解：（1）設四個季度的進貨資金分別為a₁，a₂，a₃，a₄，
則M=+++=4m²-2（a₁+a₂+a₃+a₄）m+ …（3分）
所以當m=時，M最小…（5分）
故所求的季擬合進貨資金m=萬元…（7分）
（2）因為今年第一季度的進貨資金為40×（1+25%）=50萬元，設用于普通冰箱的進貨資金為x萬元，則用于節能冰箱的進貨資金為（50-x）萬元，
從而銷售冰箱獲得的利潤為y=P+Q=（0≤x≤50）…（10分）
令s=x+20（s∈[20，70]，則y=-≤=…（12分）
當且僅當s=40，即x=20時，y取得最大值為17.5，
所以當用于節能冰箱的進貨資金為30萬元，用于普通冰箱的進貨資金為20萬元時，可使銷售冰箱的利潤最大，最大為17.5萬元…（14分）
點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數模型的構建，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．