Question

已知x∈(0，

π

2

)，求函數(shù)y=

1

2sinx

+sin2x的最小值以及取最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">sin2x=(

sinx

)4，故可利用拆項(xiàng)法將原式寫為y=

1 4

2sinx

+

1 4

2sinx

+

1 4

2sinx

+

1 4

2sinx

+sin2x
直接利用基本不等式求最值即可．

解答：解：由x∈(0，

π

2

)
知：y=

1

2sinx

+sin2x
=

1 4

2sinx

+

1 4

2sinx

+

1 4

2sinx

+

1 4

2sinx

+sin2x≥5

5	( 1 4 2sinx )4•sin2x

=

5

4

當(dāng)且僅當(dāng)

1 4

2sinx

=sin²x
即sinx=

1

2

時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)x=

π

6

時(shí)ymin=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的推廣形式的應(yīng)用，求函數(shù)的最值問題，集體的關(guān)鍵是利用拆項(xiàng)法湊出積是定值．