Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是線段A₁C₁的中點，AC∩BD=F．
（1）求證：CE⊥BD；
（2）求證：CE∥平面A₁BD；
（3）求三棱錐D-A₁BC的表面積．

Answer 1

分析：（1）欲證CE⊥BD，而CE?平面ACC₁A₁，可先證BD⊥平面ACC₁A₁，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面ACC₁A₁內兩相交直線垂直，根據正方體的性質BD⊥AC，AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，則BD⊥AA₁，又AC∩AA₁=A，滿足定理所需條件；
（2）欲證CE∥平面A₁BD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證CE與平面A₁BD內一直線平行，連接A₁F，根據AA₁∥BB₁∥CC₁，
AA₁=BB₁=CC₁，可得ACC₁A₁為平行四邊形，根據中位線可知CE∥FA₁，FA₁?面A₁BD，CE?平面A₁BD，滿足定理所需條件；
（3）先求出正三角形△A₁BD的面積，然后根據BC⊥平面A₁B₁BA，則BC⊥A₁B，求出直角三角形△A₁BC的面積，同理求出△A₁CD的面積和△BCD面積，最后將四個面積相加即可．

解答：解：（1）證明：根據正方體的性質BD⊥AC，（2分）
因為AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA₁，
又AC∩AA₁=A，
所以BD⊥平面ACC₁A₁，CE?平面ACC₁A₁，所以CE⊥BD．（4分）

（2）證明：連接A₁F，因為AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁，
所以ACC₁A₁為平行四邊形，
因此A₁C₁∥AC，A₁C₁=AC，
由于E是線段A₁C₁的中點，
所以CE∥FA₁，（6分）
因為FA₁?面A₁BD，CE?平面A₁BD，
所以CE∥平面A₁BD．（8分）

（3）△A₁BD是邊長為

2

a的正三角形，
其面積為S1=

3

4

•(

2

a)2=

3 a2

2

，（9分）
因為BC⊥平面A₁B₁BA，所以BC⊥A₁B，
所以△A₁BC是直角三角形，其面積為S2=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2，
同理△A₁CD的面積為S3=S2=

2

2

a2，（12分）
△BCD面積為S4=

1

2

a2．（13分）
所以三棱錐D-A₁BC的表面積為S=S1+S2+S3+S4=

1+2 2 + 3

2

a2．（14分）

點評：本小題主要考查直線與平面垂直的性質，直線與平面平行的判定，以及三棱錐的表面積等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題．