Question

11．已知函數(shù)f（x）=ax²+xlnx+x．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2））若a=-e，證明：方程$|{f（x）}|-lnx=\frac{1}{2}x$無解．

Answer 1

分析 （1）求得a=1時f（x）的導數(shù)，求出切線的斜率和切點坐標，由點斜式方程即可得到所求切線方程；
（2）由題意可得|-ex+lnx+1|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，設g（x）=-ex+lnx+1，求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得g（x）＞1；設h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞），求得導數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得h（x）_max=h（e）=$\frac{lne}{e}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，即可得證．

解答 （1）解：依題意，函數(shù)f（x）=x²+xlnx+x，
f′（x）=2x+lnx+2，…（2分）
故f′（1）=2+ln1+2=4，f（1）=1+ln1+1=2，
則函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-2=4（x-1），
即y=4x-2．…（4分）
（2）證明：依題意，|-ex²+xlnx+x|=lnx+$\frac{1}{2}$x，即|-ex+lnx+1|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$．
設g（x）=-ex+lnx+1，g′（x）=$\frac{-ex+1}{x}$，
g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上遞增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上遞減，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=-e•$\frac{1}{e}$+ln$\frac{1}{e}$+1=-1，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{e}$）=-1，
∴g（x）＜-1．…（8分）
設h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞）
則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
h（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減，
h（x）_max=h（e）=$\frac{lne}{e}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，
即|g（x）|＞h（x），
故方程$|{f（x）}|-lnx=\frac{1}{2}x$無解．…（12分）

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及構造函數(shù)法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．