Question

函數f(x)是定義域為實數集的單調奇函數，且f(1)＝－2．

(1)求證：f(x)是遞減函數；

(2)解關于x的不等式f(m·2^x)＋f(2^x－4^x－1)＞0，其中m是常數．

Answer 1

答案：
解析：

(1)f(1)＝－2，f(－1)＝－f(1)＝2，所以f(x)不是增函數． 　　又因為f(x)是單調函數，所以f(x)是遞減函數． 　　(2)f(m·2x)＞－f(2x－4x－1)＝f(－2x＋4x＋1) 　　因為f(x)是遞減函數，所以m·2x＜－2x＋4x＋1，即4x－(m＋1)2x＋1＞0 　　①若－3＜m＜1，即Δ＝(m＋1)2－4＝m2＋2m－3＜0時，2x∈R，不等式的解為x∈R． 　　②若m＝－3，則(2x＋1)2＞0，x∈R，若m＝1，則(2x－1)2＞0，2x≠1，即x≠0． 　　③若m＜－3或m＞1時，設t1＝(m＋1－)，t2＝(m＋1＋)，2x＜t1或2x＞t2，當m＜－3時，t1＋t2＝m＋1＜0，t1·t2＝1＞0． 　　所以t1＜0，t2＜0，不等式的解為x∈R． 　　當m＞1時，t1＋t2＞0，t1·t2＞0，所以t1＞0，t2＞0，所以x＜log2t1或x＞log2t2． 　　由①②③可知，當m＜1時，不等式解為x∈R，當m≥1時，不等式解為： x＜log2(m＋1－)或x＞log2(m＋1＋)