Question

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．如果函數(shù)f(x)=

x2+a

bx-c

(b，c∈N)有且只有兩個不動點0，2，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知各項不為零的數(shù)列{a_n}滿足4Sn•f(

1

an

)=1，求數(shù)列通項a_n；
（3）如果數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n），求證：當n≥2時，恒有a_n＜3成立．

Answer 1

分析：（1）如果設(shè)

x2+a

bx-c

=x，整理得：（1-b）x²+cx+a=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得：

2+0=- c 1-b 2•0= a 1-b

，解得

a=0 b=1+ c 2

，代入f（x），并由f（-2）＜-

1

2

，得c＜3，且c，b∈N，f（x）=x有且只有兩個不動點，得c、b的值，從而得f（x）解析式．
（2）由題意，知4Sn•

( 1 an )2

2( 1 an -1)

=1，所以，2S_n=a_n-a_n² ①；又a_n≠1，把n-1代替n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
①-②得：a_n，a_n-1的關(guān)系，從而得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，通項公式為a_n=-n；
（3）證法（一）：可用反證法，即假設(shè)a_n＞3（n≥2），由（1）知an+1=f(an)=

a 2 n

2an-2

，
作商比較，知

an+1

an

＜1，∴數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，且最大項a₂=

8

3

，這與假設(shè)矛盾，從而證得結(jié)論成立．
證法（二）：由an+1=f(an)得an+1=

a 2 n

2an-2

，

1

an+1

=-2(

1

an

-

1

2

)2+

1

2

≤

1

2

，解得a_n+1＜0或a_n+1≥2，當a_n+1＜0，結(jié)論成立；當a_n+1≥2時，因n≥2，數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減，且a2=2

2

3

，知a_n＜3成立．

解答：解：（1）設(shè)

x2+a

bx-c

=x得：（1-b）x²+cx+a=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得：

2+0=- c 1-b 2•0= a 1-b

，
解得

a=0 b=1+ c 2

，代入解析式f(x)=

x2

(1+ c 2 )x-c

，由f(-2)=

-2

1+c

＜-

1

2

，
得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，則f（x）=x不止有兩個不動點，∴c=2，b=2，于是f(x)=

x2

2(x-1)

，(x≠1)．
（2）由題設(shè)，知4Sn•

( 1 an )2

2( 1 an -1)

=1，所以，2S_n=a_n-a_n² ①；
且a_n≠1，以n-1代n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
由①-②得：2a_n=（a_n-a_n-1）-（a_n²-a_n-1²），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，以n=1代入①得：2a₁=a₁-a₁²，
解得a₁=0（舍去）或a₁=-1；由a₁=-1，若a_n=-a_n-1得a₂=1，這與a_n≠1矛盾，
∴a_n-a_n-1=-1，即{a_n}是以-1為首項，-1為公差的等差數(shù)列，∴a_n=-n；
（3）證法（一）：運用反證法，假設(shè)a_n＞3（n≥2），則由（1）知an+1=f(an)=

a 2 n

2an-2

，
∴

an+1

an

=

an

2(an-1)

=

1

2

•(1+

1

an-1

)＜

1

2

(1+

1

2

)=

3

4

＜1，即an+1＜an(n≥2，n∈N)
∴a_n＜a_n-1＜…＜a₂，而當n=2時，a2=

a 2 1

2a1-2

=

16

8-2

=

8

3

＜3；

&∴an＜3，

這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，∴a_n＜3．
證法（二）：由an+1=f(an)得an+1=

a 2 n

2an-2

，

1

an+1

=-2(

1

an

-

1

2

)2+

1

2

≤

1

2

得a_n+1＜0或a_n+1≥2，若a_n+1＜0，則a_n+1＜0＜3，結(jié)論成立；
若a_n+1≥2，此時n≥2，從而an+1-an=

-an(an-2)

2(an-1)

≤0，
即數(shù)列{a_n}在n≥2時單調(diào)遞減，由a2=2

2

3

，可知an≤a2=2

2

3

＜3，在n≥2上成立．

點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，也考查了不等式的應(yīng)用問題，是較難的綜合題；解題時要細心分析，精心作答，避免出錯．