Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=

2

a．
（Ⅰ）求證：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）設SB的中點為M，當

CD

AB

為何值時，能使DM⊥MC？請給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由∠A=90°?AB⊥AD再利用SD⊥平面ABCD?SD⊥AB?AB⊥平面SAD?結論成立．
（Ⅱ）由題中條件可推得DM⊥SB．當

CD

AB

=2時，又可利用其推得BC⊥平面SBD?DM⊥BC?DM⊥平面SBC?DM⊥MC．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵∠A=90°，
∴AB⊥AD．
又SD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴SD⊥AB．（2分）
∴AB⊥平面SAD．（4分）
又AB?平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SAD（7分）
（Ⅱ）當

CD

AB

=2時，能使DM⊥MC．（9分）
連接BD，∵∠A=90°，AB=AD=a
∴BD=

2

a∴SD=BD，∠BDA=45°
又M為SB中點，
∴DM⊥SB①（8分）
設CD的中點為P，連接BP，則DP∥AB，且DP=AB
∴BP∥AD，
∴BP⊥CD∴BD=BC
又∠BDC=90°-∠BDA=45°
∴∠CBD=90°即BC⊥BD
又BC⊥SD∴BC⊥平面SBD
∴DM⊥BC②（12分）
由①②知DM⊥平面SBC
∴DM⊥MC
即當

CD

AB

=2時，能使DM⊥MC．（14分）

點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內找兩條相交直線和另一平面內的某一條直線垂直