Question

某工廠要將一批產品用汽車從所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且運費由工廠承擔．若工廠恰能在約定日期（×月×日）將產品送到，則銷售商一次性支付給工廠2000元；若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給工廠100元；若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給工廠100元．現規定汽車只能在約定日期的前兩天出發，且只能選擇其中的一條公路運送產品，現把汽車在一段時間內走公路1和公路2的運費編成如下莖葉圖：
（Ⅰ）寫出汽車走公路1和公路2運費的中位數；
（Ⅱ）根據下列信息，

統計信息 汽車行駛路線	不堵車的情況下到達城市乙所需時間（天）	堵車的情況下到達城市乙所需時間 （天）	堵車的概率
公路1	2	3	1 10
公路2	1	4	1 2

（注：毛利潤=銷售商支付給工廠的費用-運費）
求：①以運費的中位數為運費，記汽車走公路1時工廠獲得的毛利潤為ξ（單位：元），求ξ的分布列和數學期望Eξ；
②假設你是工廠的決策者，你選擇哪條公路運送產品有可能讓工廠獲得的毛利潤更多？

Answer 1

分析：（I）根據莖葉圖，寫出汽車走公路1、公路2的所有運費，再寫出其中位數；
（II）①汽車走公路1時工廠獲得的毛利潤為ξ，ξ的可能取值是18.4，17.4，結合變量對應的事件，算出概率，寫出分布列，做出期望．
②汽車走公路1時工廠獲得的毛利潤為ξ，ξ的可能取值是20.2，17.2，結合變量對應的事件，算出概率，寫出分布列，做出期望，把兩條公路的所獲得毛利潤的期望進行比較，得到公路2的毛利潤期望大，得到結論．

解答：解：（Ⅰ）走公路1的運費為的156，158，160，162，164，故中位數為160；同理走公路2運費的中位數為80
（II）①汽車走公路1時，不堵車時工廠獲得的毛利潤ξ=20-1.6=18.4百元；
堵車時工廠獲得的毛利潤ξ=20-1.6-1=17.4百元；
∴汽車走公路1時工廠獲得的毛利潤ξ的分布列為

∴Eξ=18.4×

9

10

+17.4×

1

10

=18.3百元
②設汽車走公路2時工廠獲得的毛利潤為η，
不堵車時工廠獲得的毛利潤η=20-0.8+1=20.2百元；
堵車時工廠獲得的毛利潤η=20-0.8-2=17.2百元；
∴汽車走公路1時工廠獲得的毛利潤η的分布列為
∴
∴Eη=20.2×

1

2

+17.2×

1

2

=18.7百元
∵Eξ＜Eη∴選擇公路2運送水果有可能讓工廠獲得的毛利潤更多

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查比較兩個變量的期望值，得到最優思路，是一個利用概率知識解決實際問題的題目，是一個綜合題目