Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，為動直線與橢圓的兩個交點，問：在軸上是否存在點，使為定值？若存在，試求出點的坐標和定值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點為，.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為可得，以原點為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓的方程為，其與直線相切，利用點到直線的距離等于半徑可得，再由即可求得，方程得解；（2）假設在軸上存在點，使為定值，設出點的坐標，根據向量數量積的運算得到坐標的關系，設出直線的方程，整理方程組得到坐標的關系并代入，要使其值與的斜率，則分離參數，讓其系數為零，即得點坐標.

試題解析：（1） 由e＝，得＝，即c＝a ① 又因為以原點O為圓心，

橢圓C的長半軸長為半徑的圓為x2＋y2＝a2，且與直線2x－y＋6＝0相切，

a＝＝，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2.

橢圓的方程為＋＝1.

（2）由 得：（1＋3k2）x2－12k2x＋12k2－6＝0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝，x1·x2＝，

根據題意，假設x軸上存在定點E（m，0），使得2＋·＝·（＋）＝·為定值，

則有： ·＝（x1－m，y1）·（x2－m，y2）＝（x1－m）·（x2－m）＋y1y2

＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1－2）（x2－2） ＝（k2＋1）x1x2－（2k2＋m）（x1＋x2）＋（4k2＋m2）

＝（k2＋1）·－（2k2＋m）·＋（4k2＋m2）＝.

要使上式為定值，即與k無關，則應使3m2－12m＋10＝3（m2－6）， 即，

此時 為定值，定點為.