Question

已知函數(shù)f（x）=

2x2-3x+1，x≤1 -x2+x，x＞1

，關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍是

(

5

2

，

8+ 6

4

)

．

Answer 1

分析：由題意根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出其圖象，不妨設(shè)y=m與y=2x²-3x+1（x≤1）的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，與y=-x²+x（x＞1）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₃，然后求出x₁+x₂，以及x₃的范圍即可求出所求．

解答：解：畫出函數(shù)f（x）=

2x2-3x+1，x≤1 -x2+x，x＞1

的圖象如下圖，

方程f（x）=m有3個根，則-

1

8

＜m＜0，
不妨設(shè)y=m與y=2x²-3x+1（x≤1）的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
與y=-x²+x（x＞1）交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₃．
則x₁+x₂=

3

2

，當(dāng)m接近-

1

8

時x₃接近最大，由-x²+x=-

1

8

解得x₃接近

2+ 6

4

．
即x₃∈（1，

2+ 6

4

）
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍是(

5

2

，

8+ 6

4

)．
故答案為：(

5

2

，

8+ 6

4

)．

點(diǎn)評：本題考查了根的存在性即根的個數(shù)的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．