【題目】已知函數
，
，且
與
的圖象有一個斜率為1的公切線（
為自然對數的底數）.
（1）求
；
（2）設函數
，討論函數
的零點個數.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
（1）由
與
的圖象有一個斜率為1的公切線，分別對與求導并求出切線方程，列出等量關系可得
；
（2）利用換元將
轉化為二次函數，分類討論對其單調性，對圖像特點進行分析，分情況討論出函數
的零點個數.
（1）
可得
.
在
處的切線方程為
，
即
.
.
在
處的切線方程為
，
故
可得.
（2）由（1）可得
，
，
令
，則
，
，
時，
有兩根，
且
，
，
得：
，
在
上，
，
在
上，
，
此時，
.
又
時，
時，
.
故在和上，
各有1個零點.
時，
最小值為
，故僅有1個零點.
時，
.
其中，同，
在與上，
各有1個零點，
時，
，僅在有1個零點，
時，對方程
.
方程有兩個正根，.
在
上，，在
上，，在，.
由
，可得
，
故
.
，
故
.
故在上，
，
在上，
，
在上，有1個零點：
.
時，
恒成立，
為增函數，僅有1個零點：.
綜上，
或時，有1個零點，
或時，有2個零點.
名校練考卷期末沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產卵數y和平均溫度x有關，現收集了以往某地的7組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.（表中
）
平均溫度 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 | ||
平均產卵數 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 | ||
|
|
|
|
| |||||
27.429 | 81.286 | 3.612 | 40.182 | 147.714 | |||||
（1）根據散點圖判斷，
與
（其中
自然對數的底數）哪一個更適宜作為平均產卵數y關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數據，求出y關于x的回歸方程.（計算結果精確到小數點后第三位）
（2）根據以往統計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治記該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為
.
①記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為
，求的最大值，并求出相應的概率p.
②當取最大值時，記該地今后5年中，需要人工防治的次數為X，求X的數學期望和方差.
附：線性回歸方程系數公式
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，直線
與橢圓
的兩交點間距離為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設
是橢圓上的一動點，由原點
向圓
引兩條切線，分別交橢圓于點
，若直線
的斜率均存在，并分別記為
，求證：
為定值.
（3）在（2）的條件下，試問
是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的離心率為
，且經過點
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）設直線
與橢圓交
兩點，
是坐標原點，分別過點作
，
的平行線，兩平行線的交點剛好在橢圓上，判斷
是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】坐標系與參數方程：在平面直角坐標系中，以原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點
的極坐標為
，直線
的極坐標方程為
，且點在直線上
（Ⅰ）求
的值和直線的直角坐標方程及的參數方程；
（Ⅱ）已知曲線
的參數方程為
，（
為參數），直線與交于
兩點，求
的值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，若
，
，且
.
（Ⅰ）求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中曲線的左、右頂點分別為
、
，過點
的直線
與曲線交于兩點
，
（不與，重合）.若直線
與直線
相交于點
，試判斷點，，是否共線，并說明理由.
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