Question

5．如圖，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等邊三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分別為AD，DE的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐E-ABCD的體積；
（Ⅲ）判斷直線AG與平面BCE的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出EF⊥AD，則平面ADE⊥平面ABCD，由此能證明EF⊥平面ABCD．
（Ⅱ）推導出四邊形ABCD是直角梯形，由此能求出四棱錐E-ABCD的體積．
（Ⅲ）取CE的中點H，連結GH，BH，推導出四邊形ABHG為平行四邊形，從而AG∥BH，由此得到AG∥平面BCE．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）因為F為等邊△ADE的邊AD的中點，
所以 EF⊥AD．…（2分）
因為AB⊥平面ADE，AB?平面ABCD，
所以平面ADE⊥平面ABCD．…（4分）
所以EF⊥平面ABCD．…（5分）
解：（Ⅱ）因為AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，
所以AB∥CD，∠ADC=90°，
四邊形ABCD是直角梯形，…（7分）
又AD=DC=2AB=2，
所以${S_{梯形ABCD}}=\frac{1}{2}•（2+1）•2=3$，…（8分）
又$EF=\sqrt{3}$．所以${V_{E-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•EF=\sqrt{3}$．…（9分）
（Ⅲ）結論：直線AG∥平面BCE．
證明：取CE的中點H，連結GH，BH，
因為G是DE的中點，所以GH∥DC，且 GH=$\frac{1}{2}DC$．…（11分）
所以GH∥AB，且GH=AB=1，
所以四邊形ABHG為平行四邊形，AG∥BH，…（12分）
又AG?平面BCE，BH?平面BCE．
所以AG∥平面BCE．…（13分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．