Question

下列命題中：
①一個整數的平方是偶數，則這個整數是偶數；
②

2

是無理數；
③經過平面內一點和平面外一點的直線一定不在平面內；
④若向量

a

、

b

是平面向量的一組基底，則

a

+

b

與

a

-

b

也可作為平面向量的一組基底．
其中正確的命題是

①②③④

．

Answer 1

分析：用反證法證明，①④為正確命題；
根據直線在平面內，直線上的所有點都在平面內判斷③是否正確．

解答：解：∵設這個數不是偶數，則（2n+1）²=4n²+4n+1=2（2n²+2n）+1=2m+1．（m=2n²+2n），它的平方不是偶數，∴假設錯誤，①正確；

2

是無理數，∴②正確；
∵直線在平面內，直線上的所有點都在平面內，過平面內一點和平面外一點的直線一定不在平面內，③正確；
設

a

+

b

與

a

-

b

共線，則

a

+

b

=λ（

a

-

b

）⇒

a

=

λ+1

λ-1

b

，

a

與

b

共線，∴

a

+

b

與

a

-

b

不共線，可作為平面向量的一組基底，④正確．
故答案是①②③④

點評：本題考查命題的真假判斷．反證法是證明的常用方法，其證明的思路是：首先假設與要證明的結論相反的結論成立，
然后從假設的結論出發，推導出與已知的矛盾（或明顯的不成立），否定假設的結論，從而證明要證的結論成立．