Question

【題目】某地干旱少雨，農作物受災嚴重，為了使今后保證農田灌溉，當地政府決定建一橫斷面為等腰梯形的水渠（水渠的橫斷面如圖所示），為減少水的流失量，必須減少水與渠壁的接觸面，若水渠橫斷面的面積設計為定值S，渠深為h，則水渠壁的傾斜角α（0＜α＜）為多大時，水渠中水的流失量最小？

Answer 1

【答案】時，水渠中水的流失量最小。

【解析】

試題分析：本題考查三角函數在實際問題中的應用，根據題中條件分析，若要減少水的流失量，應使水與渠壁的接觸面最小，即求AD+DC+CB的最小值，過B作BE⊥DC，交DC于點E，在中，，，由圖可知：，又因為，所以，因此可以求得，于是得到，整理可以得到：，由于是自變量，S，h是已知量，所以要使函數值y最小，只需使的值最小即可。設，u可看作（0，2）與（﹣sinα，cosα）兩點連線的斜率，由于α∈（0，），

點（﹣sinα，cosα）在曲線x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上運動，當過（0，2）的直線與曲線相切時，直線斜率最小，此時切點為（﹣，），則有sinα=，且cosα=，故當α=時，水渠中水的流失量最小．

試題解析：作BE⊥DC于E，

在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα，

又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD=，

故CD=﹣hcotα．

設y=AD+DC+BC，

則y=﹣hcotα+=+（0＜α＜），

由于S與h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值，

u可看作（0，2）與（﹣sinα，cosα）兩點連線的斜率，

由于α∈（0，），

點（﹣sinα，cosα）在曲線x2+y2=1

（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上運動，

當過（0，2）的直線與曲線相切時，直線斜率最小，

此時切點為（﹣，），

則有sinα=，且cosα=，

那么α=，

故當α=時，水渠中水的流失量最小．