Question

把已知正整數n表示為若干個正整數（至少3個，且可以相等）之和的形式，若這幾個正整數可以按一定順序構成等差數列，則稱這些數為n的一個等差分拆．將這些正整數的不同排列視為相同的分拆．如：（1，4，7）與（7，1，4）為12的相同等差分拆．正整數27的不同等差分拆有（　　）個．

• A、9
• B、10
• C、11
• D、12

Answer 1

分析：根據等差分拆的定義，分別討論公差和等差分拆的個數，分別討論即可得到結論．

解答：解：∵27=1×27=3×9．∴可以考慮以下等差分拆．
①以9為等差中項的三個整數的分拆共有以下9個：27=1+9+17=2+9+16=…=9+9+9；
②等差分拆為9個數的共有以下1個：3，3，3，3；3，3，3，3，3；
③等差分拆為27個數的共有以下3個：1，1，…，1（共27個1）．
綜上可知：正整數30的不同等差分拆共有11個．
故選：C．

點評：本題主要考查等差數列的應用，正確理解題意是解決本題的關鍵，要熟練掌握分類討論思想方法、綜合性較強，難度較大．