Question

函數的最大值記為M，周期為，則函數g（t）=t²（t-a）在區間[0，M]上的最大值為（ ）
A．1
B．0
C．
D．4

Answer 1

【答案】分析：利用兩角和的正弦公式化簡函數解析式為2sin（2x+），由此求得最大值M，根據周期的值求出a的值，利用導數求
出函數g（t）=t²（t-1）在[0，2]上的最大值．
解答：解：∵函數=2（）=2sin（2x+），
故函數的最大值M=2，周期為=，∴a=1．
故函數g（t）=t²（t-a）=t²（t-1），區間[0，M]即[0，2]．
g′（t）=3t²-2t，故當t∈（0，）上時，g′（t）＜0，當t∈（，2]上時，g′（t）＞0．
故函數在∈（0，）上是減函數，在∈（，2]上是增函數．
故函數的最大值為g（0）或g（2）．
再由g（0）=0，g（2）=4 可得，函數g（t）=t²（t-a）在區間[0，M]上的最大值為4，
故選D．
點評：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數的周期性，利用導數求函數在閉區間上的最大值，屬于中檔題．