Question

已知數列{a_n}的首項a₁=1，a₂=3，前n項的和為S_n，且S_n+1、S_n、S_n-1（n≥2）分別是直線l上的點A、B、C的橫坐標，

AB

=

2an+1

an

BC

，設b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判斷數列{a_n+1}是否為等比數列，并證明你的結論．
（2）設cn=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

，數列{c_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）用S_n+1、S_n、S_n-1表示出

AB

和

BC

進而根據題意求得

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

推斷出a_n+1+1=2（a_n+1）根據等比數列的定義判斷出數列{a_n+1}是等比數列．
（2）把（1）中求得a_n代入題設，求得b_n的表達式，進而可求得C_n，進而用裂項法求得答案．

解答：（1）解：判斷數列{a_n+1}為等比數列，證明如下：
由題意S_n+1、S_n、S_n-1（n≥2）分別是直線l上的點A、B、C的橫坐標，

AB

=

2an+1

an

BC

，
得

Sn+1-Sn

Sn-Sn-1

=

2an+1

an

⇒an+1=2an+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），又∵a₁=1，a₂=3
∴數列{a_n+1}是以a₁+1=2為首項，以2為公比的等比數列．
則a_n+1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1（n∈N^*）]
（2）證明：由a_n=2ⁿ-1及b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n得b_n+1=b_n+n，
∴bn=1+

n(n-1)

2

，
則cn=

4 bn+1-1 n+1

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
數列{c_n}的前n項和為T_n為：

n

k=1

Ck=(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+(

1

23-1

-

1

24-1

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

＜1．

點評：本題主要考查了等比數列的判定和等比數列的通項公式以及裂項法求和．