Question

函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出四個命題：
①c=0時，y=f（x）是奇函數(shù)；
②y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）中心對稱；
③方程f（x）=0至多有兩個實根；
④b=0，c＞0時方程f（x）=0只有一個實數(shù)根．
上述命題中所有正確的命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①利用奇函數(shù)的定義證明即可；②利用函數(shù)關(guān)于點中心對稱的定義，可證明其為真命題，也可利用圖象變換說明；③利用舉反例的方法即可證明③錯誤；利用數(shù)形結(jié)合畫出函數(shù)f（x）的圖象即可判斷④正確

解答：解：①c=0時，y=f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-f（x），∴c=0時，y=f（x）是奇函數(shù)，①正確；
②∵f（-x）+f（x）=（-x|x|-bx+c）+（x|x|+bx+c）=2c，∴y=f（x）的圖象關(guān)于點（0，c）中心對稱；②正確；
③取b=-1，c=0，則f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故③錯誤；
④b=0，c＞0時，f（x）=x|x|+c=

x2+ c   x≥0 -x2+c    x＜ 0

，其圖象如圖
數(shù)形結(jié)合可得方程f（x）=0只有一個實數(shù)根．④正確
故答案為①②④

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性定義及其判斷方法，函數(shù)中心對稱的定義，函數(shù)的零點與方程的根間的關(guān)系，函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想方法