Question

給出下列四個命題：
①若函數f（x）=a（x³-x）在區間（-

3

3

，

3

3

）為減函數，則a＞0；
②函數f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＞-

1

a

}；
③當x＞0且x≠1時，有lnx+

1

lnx

≥2；
④函數y=x2，y=(

1

2

)x，y=x5+1，y=x，y=ax(a＞1)中，冪函數有2個．
所有正確命題的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：對于①若函數f（x）=a（x³-x）在區間（-

3

3

，

3

3

）為減函數，則f′（x）＜0在區間（-

3

3

，

3

3

）上恒成立，即可求得a的范圍；對于②當a＞0時，函數f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＞-

1

a

}；對于③當x＞0且x≠1時，因lnx不一定大于0，故不一定有lnx+

1

lnx

≥2；對于④函數中，冪函數有y=x²，y=x，共2個．

解答：解：①若函數f（x）=a（x³-x）在區間（-

3

3

，

3

3

）為減函數，則f′（x）＜0在區間（-

3

3

，

3

3

）上恒成立，即：a（3x²-1）＜0⇒a＞0；故①正確；
②當a＞0時，函數f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＞-

1

a

}；故其錯；
③當x＞0且x≠1時，因lnx不一定大于0，故不一定有lnx+

1

lnx

≥2；故③錯；
④函數y=x2，y=(

1

2

)x，y=x5+1，y=x，y=ax(a＞1)中，冪函數有y=x²，y=x，共2個．故其正確．
所有正確命題的個數是2．
故選B．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數恒成立問題、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．