Question

已知曲線C的極坐標方程為：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，曲線C上的任意一個點P的直角坐標為（x，y），則3x+4y的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²可把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，得到圓心與半徑r，令3x+4y=t，由于點P（x，y）是曲線C上的任意一個點，可得圓心C（1，2）到直線的距離d≤r．利用點到直線的距離公式即可得出．

解答： 解：由曲線C的極坐標方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，化為直角坐標方程：x²+y²-2x-4y+4=0，
化為（x-1）²+（y-2）²=1．可得圓心C（1，2），半徑r=1．
令3x+4y=t，
∵點P（x，y）是曲線C上的任意一個點，∴圓心C（1，2）到直線的距離d≤r．
∴

|3+4×2-t|

32+42

≤1，化為|t-11|≤5，解得6≤t≤16．
∴3x+4y的取值范圍為[6，16]．
故答案為：[6，16]．

點評：本題考查了曲線的極坐標方程化為直角坐標方程的公式、點到直線的距離公式，屬于基礎題．