Question

如圖在等腰直角△ABC中，點O是斜邊BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若

AB

=m

AM，

AC

=n

AN

，則mn的最大值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：利用三角形的直角建立坐標系，求出各個點的坐標，有條件求出M和N坐標，則由截距式直線方程求出MN的直線方程，根據點
O（1，1）在直線上，求出m和n的關系式，利用基本不等式求出mn的最大值，注意成立時條件是否成立．

解答：解：以AC、AB為x、y軸建立直角坐標系，設等腰直角△ABC的腰長為2，
則O點坐標為（1，1），B（0，2）、C（2，0），
∵

AB

=m

AM，

AC

=n

AN

，
∴

AM

=

AB

m

，

AN

=

AC

n

，
∴M(0，

2

m

)、N(

2

n

，0)，
∴直線MN的方程為

nx

2

+

my

2

=1，
∵直線MN過點O（1，1），
∴

m

2

+

n

2

=1，即m+n=2
∵m+n≥2

mn

（m＞0，n＞0），
∴mn≤

(m+n)2

4

=1，
∴當且僅當m=n=1時取等號，且mn的最大值為1．
故選B．

點評：本題的考查了利用向量的坐標運算求最值問題，需要根據圖形的特征建立坐標系，轉化為幾何問題，根據條件求出兩數的和，再由基本不等式求出它們的積的最大值，注意驗證三個條件：一正二定三相等，考查了轉化思想．