Question

已知拋物線，直線與拋物線交于兩點．

（Ⅰ）若軸與以為直徑的圓相切，求該圓的方程；

（Ⅱ）若直線與軸負半軸相交，求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）聯立，消并化簡整理得,利用圓與軸相切的位置關系得弦從而確定的值，進而求得該圓的方程；

（Ⅱ）首先根據直線與拋物線的位置關系將弦 的長度和原點到直線的距離均表示為 的函數，并確定的取值范圍，從而把的面積也表示為的函數，最后利用函數的最值求出的最大值.

試題解析：（Ⅰ）聯立，消并化簡整理得．

依題意應有，解得．

設，則，

設圓心，則應有．

因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為，

又 ．

所以 ，

解得．

所以，所以圓心為．

故所求圓的方程為．

（Ⅱ）因為直線與軸負半軸相交，所以，

又與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知，所以，

直線：整理得，點到直線的距離 ，

所以． 令，，

，

	＋	0	－
		極大

由上表可得的最大值為 ．所以當時，的面積取得最大值．

考點：1、直線與拋物線的位置關系；導數在研究函數性質中的應用.