Question

（2011•天津模擬）已知函數f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（Ⅰ）試確定t的取值范圍，使得函數f（x）在[-2，t]上為單調函數；
（2）當t＞-2時，判斷f（-2）和f（t）的大小，并說明理由；
（3）求證：當1＜t＜4時，關于x的方程：

f′(x)

ex

=

2

3

(t-1)2在區間[-2，t]上總有兩個不同的解．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數的導數，然后根據導數與函數單調區間的關系確定t的取值范圍，
（2）運用函數的極小值進行證明，
（3）首先對關系式進行化簡，然后利用零點存在定理進行判定．

解答：解：（1）因為f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函數f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減，
要使函數f（x）在[-2，t]上為單調函數，則-2＜t≤0，
（2））①若-2＜t≤0，則f（x）在[-2，t]上單調遞增，∴f（t）＞f（-2）；
②若0＜t＜1，則f（x）在[-2，0]上單調遞增，在[0，t]上單調遞減
又f（-2）=13e^-2，f（1）=e，∴f（t）≥f（1）＞f（-2）；
③若t＞1，則f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減
∴f（t）＞f（1）＞f（-2），
   綜上，f（t）＞f（-2）．
（3）證：∵

f′(x0)

ex0

=x

2 0

-x0，∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，即為x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，從而問題轉化為證明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在[-2，t]（1＜t＜4）上總有兩個不同的解
因為g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t-4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以當1＜t＜4時，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解，

點評：本題以函數為載體，考查利用導數確定函數的單調性，考查函數的極值，同時考查了方程解的個數問題，綜合性強．