Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側棱CC₁上的一點，CP=m．
（1）求二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）試確定m，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

．

Answer 1

分析：解法一（幾何法）（1）連AC，設AC∩BD=O，連接OC，OC₁，可得∠COC₁即為二面角C₁-DB-C的平面角，解Rt△COC₁，即可得到二面角C₁-DB-C的正切值．
（2）設AP與面BDD₁B₁交于點G，連OG，可得∠AGO即為AP與面BDD₁B₁所成的角，解Rt△AOG，即可得到一個關于m的方程，解方程即可得到滿足條件的m的值．
解法二（向量法）（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面C₁DB和平面DBC的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）分別求出直線AP的方向向量與平面BDD₁B₁的法向量，根據根據直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

，構造一個關于m的方程，解方程即可得到滿足條件的m的值．

解答： 解法一（幾何法）：
解：（1）如圖，連AC，設AC∩BD=O，連接OC，OC₁，
則AC⊥BD，CC₁⊥BD，
∴BD⊥平面CC₁O，
∴BD⊥CC₁，
故∠COC₁即為二面角C₁-DB-C的平面角
在Rt△COC₁中，CC₁=1，CO=

2

2

則tan∠COC₁=

CC1

OC

=

2

故二面角C₁-DB-C的正切值為

2

（2）設AP與面BDD₁B₁交于點G，連OG，
因為PC∥面BDD₁B₁，而BDD₁B₁∩面APC=OG，
故OG∥PC，
所以OG=

1

2

PC=

m

2

．
又AO⊥DB，AO⊥BB₁，
所以AO⊥面BDD₁B₁，
故∠AGO即為AP與面BDD₁B₁所成的角
在Rt△AOG中，tan∠AGO=

2 2

m 2

=3

2

即m=

1

3

．?
故當m=

1

3

時，直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

．?
解法二（向量法）
解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1）?
則

CC1

=（0，0，1）為平面DBC一個法向量，
設

m

=（x，y，z）為平面C₁DB的一個法向量，則

m • BD =0 m • BC1 =0

即

x+y=0 -x+z=0

則

m

=（1，-1，1）
設二面角C₁-DB-C的平面角為θ
則cosθ=

m • CC1

| m |•| CC1 |

=

3

3

則sinθ=

6

3

，tanθ=

2

即二面角C₁-DB-C的正切值為

2

（2）∵

BD

=（-1，1，0），

BB1

=（0，0，1），?

AP

=（-1，1，m），

AC

=-1，1，0），?
又由

AC

•

BD

=0，

AC

•

BB1

=0知，

AC

為平面BB₁D₁D的一個法向量．?
設AP與平面BB₁D₁D所成的角為θ，?
則sinθ=cos（

π

2

-θ）=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2 +m2

依題意有

2

2 • 2 +m2

=

3 2

1+(3 2 )2

，?
解得m=

1

3

，??
故當m=

1

3

時，直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3

2

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面所成的解，其中解法一的關鍵是找到線面夾角和二面角的平面角，將空間線面夾角問題和二面角問題轉化為解三角形問題；而解法二的關鍵是建立空間坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，將空間線面夾角問題和二面角問題轉化為向量夾角問題．