Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（1+λ）-λa_n，其中λ≠-1，0；
（I）證明：數列{a_n}是等比數列．
（II）設數列{a_n}的公比q=f（λ），數列{b_n}滿足，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2）求數列{b_n}的通項公式；
（III）記λ=1，記，求數列{C_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

解：（I）由S_n=（1+λ）-λa_n得，S_n-1=（1+λ）-λa_n-1（n≥2），
兩式相減得：a_n=-λa_n+λa_n-1，∴（n≥2），
∵λ≠-1，0，∴數列{a_n}是等比數列．
（II）由（I）知，，
∵b_n=f（b_n-1）（n∈N^*），∴，即，
∴是首項為，公差為1的等差數列；
∴，
則，
（III）λ=1時，，且a₁=1，∴，
∴，
∴，①
②
②-①得：，
∴，
∴．
分析：（I）根據題意和a_n=s_n-s_n-1（n≥2）進行變形，再由等比數列的定義判斷得出；
（II）由（I）和題中所給的式子求出b_n后，再進一步變形，判斷出是等差數列，根據等差數列的通項公式求出{b_n}的通項公式；
（III）由前兩小題的結果求出C_n，再由錯位相減法求出該數列的前n項和為T_n．
點評：本題是數列的綜合題，涉及了等差數列、等比數列的通項公式，主要利用關系式a_n=s_n-s_n-1（n≥2）和構造法進行變形，還涉及了錯位相減法求數列的前n項和，考查了分析問題和解決問題的能力．