Question

20．已知偶函數f（x）對任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），則f（2018）=0．

Answer 1

分析 根據偶函數的定義，結合f（x+4）-f（x）=2f（2），令x=-2，求出f（2）=0，從而函數f（x）是周期為4的函數，f（2018）=f（2），再由偶函數的定義得f（2）=0．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（-2）=f（2），
∵對任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
令x=-2，則f（2）=f（-2）+2f（2），
∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），
即函數f（x）是最小正周期為4的函數，
∴f（2018）=f（4×504+2）=f（2）=0．
故答案為：0．

點評 本題主要考查函數的周期性及應用，函數的奇偶性的定義和運用，考查解決抽象函數常用的方法：賦值法，正確賦值是解題的關鍵，屬于中檔題．