Question

一條鐵路原有m個車站，為適應客運需要，新增加n（n≥1，n∈N^*）個車站，因而增加了58種車票（起迄站相同的車票視為相同的車票），問原來這條鐵路有幾個車站？現在又有幾個車站？

Answer 1

解：由題設A_m+n²-A_n²=58，
即n（2m-1+n）=58=2×29．
（1）若n=2，則2m-1+n=29，m=14；
（2）若n=29，則2m-1+n=2，m=-13，不合題意，舍去；
（3）若n=1，則2m-1+n=58，m=29；
（4）若n=58，則2m-1+n=1，m=-28，不合題意，舍去．
原有14個車站，現有16個車站；或者原有29個車站，現有30個車站．
分析：根據題意寫出原來的車票數和現在的車票數，根據兩者之間的差距是58，列出關于n，m的排列數的式子，整理出最簡形式，針對于n．m的取值進行討論，得到合適的結果．
點評：本題考查排列及排列數公式，是一個實際問題的應用，注意在討論時m，n的條件，做到不重不漏，本題考查的知識點比較多，是一個綜合題目．