Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點都在球O的球面上．若AB=BC=2，∠ABC=90°，AA₁=2

2

，則球O的表面積為

 

．

Answer 1

分析：根據直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，構造長方體，則長方體的體對角線即為球的直徑，然后求出球的半徑，即可求球的表面積．

解答：解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的六個頂點都在球O的球面上，
且AB=BC=2，∠ABC=90°，AA₁=2

2

，
∴構造長方體，則長方體的外接球和直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球是相同的，
則長方體的體對角線等于球的直徑2R，
則2R=

22+22+(2 2 )2

=

16

=4，
∴R=2，
則球O的表面積為4πR²=4π×2²=16π，
故答案為：16π．

點評：本題主要考查空間幾何體的位置關系，利用直三棱柱構造長方體是解決本題的關鍵，利用長方體的體對角線等于球的直徑是本題的突破點．