Question

19．某集團為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經調查，每年投入廣告費t（百萬元），可增加銷售額約為-t²+7t（百萬元）（0≤t≤4）．
（1）若該公司將當年的廣告費控制在400萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司獲得的收益最大？
（2）現該公司準備共投入400萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經預測，每投入技術改造費x（百萬元），可增加的銷售額為-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x（百萬元）．請設計一個資金分配方案，使該公司獲得的收益最大．（注：收益=銷售額-投入）

Answer 1

分析 （1）設投入t（t百萬元）的廣告費后增加的收益為f（t）根據收益為銷售額與投放的差可建立收益模型為：f（t）=（-t²+7t）-t=-t²+6t，再由二次函數法求得最大值．
（2）根據題意，若用技術改造的資金為x（百萬元），則用于廣告促銷的資金為（4-x）（百萬元），則收益模型為：g（x）=（-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x）+[-（4-x）²+7（4-x）]-3=-$\frac{1}{3}$x³+4x+12（0≤x≤4），因為是高次函數，所以用導數法研究其最大值．

解答 解：（1）設投入t（t百萬元）的廣告費后增加的收益為f（t）（百萬元），
則有f（t）=（-t²+7t）-t=-t²+6t=-（t-3）²+9（0＜t≤4），
所以當t=3百萬元時，f（t）取得最大值9百萬元．
即投入3百萬元時的廣告費時，該公司由此獲得的收益最大．（6分）
（2）設用技術改造的資金為x（百萬元），
則用于廣告促銷的資金為（4-x）（百萬元），
則增加的收益為g（x）=（-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x）+[-（4-x）²+7（4-x）]-3=-$\frac{1}{3}$x³+4x+12（0≤x≤4），
所以g′（x）=-x²+4．令g′（x）=0，
解得x=2，或x=-2（舍去）．
又當0≤x＜2時，g′（x）＞0，
當2＜x≤3時，g′（x）＜0．
故g（x）在[0，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數．
所以當x=2時，g（x）取最大值，
即將2百萬元用于技術改造，2百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大．（16分）

點評 本題主要考查函數模型的建立和應用，還考查了二次函數法和導數法研究函數的最值的基本方法．