Question

【題目】對于定義域為的函數，若同時滿足下列條件：

①在內單調遞增或單調遞減；

②存在區間，使在上的值域為；

那么把叫閉函數．

（1）求閉函數符合條件②的區間；

（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

(3)若是閉函數，求實數的范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據函數的單調性得到關于的方程組，解出即可；

（2）將變形，得到的單調區間，根據閉函數的定義，判定即可得到答案；

（3）根據閉函數的定義得到方程由兩個不等的實根，通過討論，得到關于的不等式組，即可求解.

（1）由題意， 在 上遞減，則，解得，

所以，所求的區間為.

（2）在 上單調遞增，在上單調遞增，

所以，函數在定義域上不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數

（3）若 是閉函數，則存在區間 ，在區間上，

函數的值域為即 ，

所以為方程的兩個實數根，

即方程有兩個不等的實根

當時，有，解得

當 時，有，此不等式組無解．

綜上所述， .