Question

已知曲線C的極坐標方程為ρ=1，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，直線l的參數方程

x=6- 3 2 t y= 1 2 t

，（t為參數）．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C經過伸縮變換

x′=3x y′=y

得到曲線C′，在曲線C′上求一點M，使點M到直線l的距離最小，并求出最小距離．

Answer 1

分析：（I）由極坐標下的方程化為普通方程的公式即可將ρ=1化為普通方程；把直線l的參數方程中的參數消去即可得到直線l的普通方程．
（II）利用伸縮變換

x′=3x y′=y

得到曲線C′，再根據得到的曲線C'方程，利用三角代換即可把點M到直線l的距離的最小值轉化為求三角函數類型的最值問題．

解答：解：（I）設點P（x，y）是曲線C上的任意一點，由ρ=

x2+y2

，ρ=1，可得x²+y²=1即為曲線C的直角坐標方程．
又已知直線l的參數方程

x=6- 3 2 t y= 1 2 t

，可得直線l的普通方程為l：x+

3

y-6=0．
（Ⅱ） 設點P（x，y），是圓C上的任意一點，經過伸縮變換

x′=3x y′=y

得到點P'（x'，y'）
由

x′=3x y′=y

得

x= x′ 3 y=y′

，把

x= x′ 3 y=y′

代入圓x²+y²=1得，

x′2

9

+y′2=1
所以曲線C'：

x2

9

+y2=1
令M（3cosθ，sinθ），則點M到直線l的距離
d=

|3cosθ+ 3 sinθ-6|

2

=

|2 3 cos(θ- π 6 )-6|

2

∴當θ-

π

6

=0即θ=

π

6

時，d_min=

6-2 3

2

=3-

3

，此時，3cosθ=

3 3

2

，sinθ=

1

2

∴當M（

3 3

2

，

1

2

）時，點M到直線l的距離的最小值為3-

3

．

點評：本題考查的是將極坐標方程及參數方程化為直角坐標系下的普通方程，及用參數法求代數式的最值．