Question

已知曲線C₁：

x2

3

+y²=1和C₂：x²-y²=1的焦點分別為F₁、F₂，點M是C₁和C₂的一個交點，則△MF₁F₂的形狀是（　　）

• A、銳角三角形
• B、直角三角形
• C、鈍角三角形
• D、不能確定

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由已知條件分別求出F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，不妨設M（

6

2

，

2

2

），分別求出△MF₁F₂的三條邊，用余弦定理能判斷△MF₁F₂的形狀．

解答：解：∵曲線C₁：

x2

3

+y²=1和C₂：x²-y²=1的焦點分別為F₁、F₂，
∴F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，
∵點M是C₁和C₂的一個交點，
聯立

x2 3 +y2=1 x2-y2=1

，得x2=

3

2

，y²=

1

2

，
∴不妨設M（

6

2

，

2

2

），
則|MF₁|=

( 6 2 + 2 )2+( 2 2 )2

=

4+2 3

=1+

3

，
|MF₂|=

( 6 2 - 2 )2+( 2 2 )2

=

3

-1，
|F₁F₂|=2

2

，
∵△MF₁F₂的三條邊中|F₁F₂|最長，∴∠F₁MF₂最大，
∴cos∠F₁MF₂=

(1+ 3 )2+( 3 -1)2-(2 2 )2

2(1+ 3 )( 3 -1)

=0，
∴△MF₁F₂是直角三角形．
故選：B．

點評：本題考查三角形的形狀的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．