Question

某種商品在最近40天內(nèi)沒見的銷售價(jià)格P元與時(shí)間t天的函數(shù)關(guān)系式是：該商品的銷售量Q件與t天的函數(shù)關(guān)系式是：Q=-t+40，（0＜t≤40，t∈N⁺）求最近40天內(nèi)這種商品的銷售金額的最大值，并指出取得該最大值是第幾天？

Answer 1

解：當(dāng)0＜t＜30，t∈N₊時(shí)，y=（t+30）（-t+40）=-t²+10t+1200=-（t-5）²+1225．
∴t=5時(shí)，y_max=1225
當(dāng)30≤t≤40，t∈N₊時(shí)，y=（-t+120）（-t+40）=t²-160t+4800=（t-80）²-1200，
而y=（t-80）²-1200，在t∈[30，40]時(shí)，函數(shù)遞減．
∴t=30時(shí)，y_max=900
∵1225＞900
∴最近40天內(nèi)，第5天達(dá)到最大值，最大值為1225元．
分析：應(yīng)充分考慮自變量的范圍不同銷售的價(jià)格表達(dá)形式不同，分情況討論日銷售金額y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)分段函數(shù)不同段上的表達(dá)式，分別求最大值，最終取較大者分析即可獲得問題解答．
點(diǎn)評：本題考查的是分段函數(shù)應(yīng)用類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、二次函數(shù)求最值的方法以及問題轉(zhuǎn)化的能力．