Question

已知曲線E：

x2

m

+

y2

m-1

=1，
（1）若曲線E為雙曲線，求實數m的取值范圍；
（2）已知m=4，A（-1，0）和曲線C：（x-1）²+y²=16，點P是曲線C上任意一點，線段PA的垂直平分線為l，試判斷l與曲線E的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：圓錐曲線的共同特征

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用曲線E為雙曲線，可得m（m-1）＜0，即可求實數m的取值范圍；
（2）m=4，曲線方程為

x2

4

+

y2

3

=1，頂點為（±2，0），（0，±

3

），點P是曲線C上任意一點，線段PA的垂直平分線為l，可得l是圓x²+y²=4的切線，從而判斷l與曲線的位置關系．

解答： 解：（1）∵曲線E為雙曲線，
∴m（m-1）＜0，
∴0＜m＜1；
（2）結論：l與曲線E相切．
證明：當m=4，曲線方程為

x2

4

+

y2

3

=1，即3x²+4y²=12．
設P（x₀，y₀），其中（x₀-1）²+y₀²=16
線段PA的中點為Q（

x0-1

2

，

y0

2

），直線AP的概率為k=

y0

x0+1

當y₀=0時，直線l與曲線E相切成立．
當y₀≠0時，直線l的方程為y-

y0

2

=-

x0+1

y0

（x-

x0-1

2

），即y=-

x0+1

y0

x+

x02+y02-1

2y0

，
∵（x₀-1）²+y₀²=16，
∴x₀²+y₀²-1=2x₀+14
∴y=-

x0+1

y0

x+

x0+7

y0

代入3x²+4y²=12，化簡得，（x₀+7）²x²-8（x₀+1）（x₀+7）x+16（x₀+1）²=0
∴△=64（x₀+1）²（x₀+7）²-4（x₀+7）²×16（x₀+1）²=0
∴直線l與曲線E相切．

點評：本題考查雙曲線、橢圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，確定曲線方程是關鍵．