Question

已知函數f（x）=x²-2x，其中a-1≤x≤a+1，a∈R．設集合M={（m，f（n））|m，n∈[a-1，a+1]}，若M中的所有點圍成的平面區域面積為S，則S的最小值為________．

Answer 1

2
分析：設f（n）∈[p，q]，則M中的所有點圍成的平面區域面積為S=[（a+1）-（a-1）]（q-p）=2（q-p），分情況討論求出f（n）的值域，然后表示出S，即可求出S的最小值．
解答：（1）當a+1≤1即a≤0時，f（x）在[a-1，a+1]上單調遞減，
f（a+1）≤f（n）≤f（a-1），即f（n）∈[a²-1，a²-4a+3]，
此時，S=[（a+1）-（a-1）]（a²-4a+3-a²+1）=2（-4a+4）≥8；
（2）當a-1≥1即a≥2時，f（x）在[a-1，a+1]上單調遞增，
f（n）∈[a²-4a+3，a²-1]，
此時，S=2（4a-4）≥8；
（3）當0≤a≤1時，f（n）∈[-1，a²-4a+3]，
此時，S=2（a²-4a+3+1）=2（a-2）²≥2；
（4）當1＜a＜2時，f（n）∈[-1，a²-1]，
此時，S=2（a²-1+1）=2a²＞2；
綜上所述，S≥2，即S的最小值為2．
故答案為：2．
點評：本題考查二次函數在閉區間上的值域的求解，考查分類討論思想，考查學生分析問題解決問題的能力．