Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

本試題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)的和運(yùn)用。第一問(wèn)中，利用待定系數(shù)法求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可。結(jié)合橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得
（2）中假設(shè)存在直線滿足條件，由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組
結(jié)合韋達(dá)定理可知且，即，
所以 ，解得.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232136257061774.png" style="vertical-align:middle;" />，解得．
所以最終得到k=1/2.
解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為，由題意得
解得，，故橢圓的方程為． ……………………5分
（Ⅱ）若存在直線滿足條件，由題意可設(shè)直線的方程為，
由得.
因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
所以.
整理得.
解得．
又，，
且，即，
所以 . 即 .
所以 ，解得.
所以．于是存在直線滿足條件，其的方程為.  ………………13分