Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1），要證明PC⊥BC，可以轉化為證明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易證明BC⊥平面PCD，從而得證；
（2），有兩種方法可以求點A到平面PBC的距離：
方法一，注意到第一問證明的結論，取AB的中點E，容易證明DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等，而A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍，由第一問證明的結論知平面PBC⊥平面PCD，交線是PC，所以只求D到PC的距離即可，在等腰直角三角形PDC中易求；
方法二，等體積法：連接AC，則三棱錐P-ACB與三棱錐A-PBC體積相等，而三棱錐P-ACB體積易求，三棱錐A-PBC的地面PBC的面積易求，其高即為點A到平面PBC的距離，設為h，則利用體積相等即求．
解答：解：（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．
由∠BCD=90°，得CD⊥BC，
又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，
所以BC⊥平面PCD．
因為PC?平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：
易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等．
又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍．
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．
易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于．

（方法二）等體積法：連接AC．設點A到平面PBC的距離為h．
因為AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．
從而AB=2，BC=1，得△ABC的面積S_△ABC=1．
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積．
因為PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC．
又PD=DC=1，所以．
由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面積．
由V_A-PBC=V_P-ABC，，得，
故點A到平面PBC的距離等于．
點評：本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力．