Question

已知函數(shù)，以點(diǎn)為切點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，直線與函數(shù)圖像及切線分別相交于，記．
（1）求切線的方程及數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．

Answer 1

（1）切線的方程為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）詳見試題解析．

解析試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先對函數(shù)求導(dǎo)，求導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，即得切線的斜率，最后由直線的點(diǎn)斜式方程即可求得切線的方程，進(jìn)一步結(jié)合已知條件可得的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得數(shù)列的通項(xiàng)；（2）首先寫出數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征選擇裂項(xiàng)相消法求和，進(jìn)而可證明不等式．
試題解析：（1）對求導(dǎo)，得，則切線方程為：，即，易知，，
由知=．
（2）==，===＜1.
考點(diǎn)：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和的求法（裂項(xiàng)相消法）；3．?dāng)?shù)列不等式的證明．