Question

如圖所示，已知D為△ABC的BC邊

上一點(diǎn)，⊙O₁經(jīng)過點(diǎn)B，D，交AB于另一點(diǎn)E，⊙O₂經(jīng)過

點(diǎn)C，D，交AC于另一點(diǎn)F，⊙O₁與⊙O₂交于點(diǎn)G.

（1）求證：∠EAG=∠EFG；

（2）若⊙O₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，AC=10，AG切⊙O₂于G，求線段AG的長(zhǎng).

Answer 1

（1）證明略（2）AG=2.

解析:

（1）證明  連接GD，因?yàn)樗倪呅蜝DGE，CDGF分別內(nèi)接于⊙O₁，⊙O₂，∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，

又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°.

即A，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴∠EAG=∠EFG.

（2）解  因?yàn)椤袿₂的半徑為5，圓心O₂到直線AC的距離為3，所以由垂徑定理知FC=2=8，又AC=10,∴AF=2,∵AG切⊙O₂于G，∴AG²=AF·AC=2×10=20,AG=2.