Question

7．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x-1．
（1）求f（x）的函數解析式；
（2）作出函數f（x）的簡圖，寫出函數f（x）的單調減區間及最值．
（3）若關于x的方程f（x）=m有兩個解，試說出實數m的取值范圍．（只要寫出結果，不用給出證明過程）

Answer 1

分析 （1）當x＜0時，-x＞0，由已知中當x≥0時，f（x）=x²-2x-1，及函數f（x）是定義在R上的偶函數，可求出當x＜0時函數的解析式，進而得到答案，
（2）由二次函數的圖象畫法可得到函數的草圖；根據圖象下降對應函數的單調遞減區間，分析出函數值的取值范圍后可得到答案；
（3）由圖象可得結論．

解答 解：（1）當x＜0時，-x＞0，f（-x）=x²+2x-1．
∵f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=x²+2x-1--------------------------------------（2分）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x-1，x＜0}\end{array}\right.$--------------------------------3分
（2）函數圖象如圖所示

-----------------------------------------------------------------------------------------（5分）
單調減區間為（-∞，-1]，[0，1]------------------------------------（6分）
f（x）_min=-2，函數沒有最大值（注：不說明最大值情況扣1分）--（8分）
（3）m∈{-2}∪（-1，+∞）----------------------------------------------------------（10分）

點評 本題考查的知識點是函數圖象，函數的單調區間，函數的值域，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．