Question

（2012•湖南）某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數據，如下表所示．

一次性購物量	1至4件	5 至8件	9至12件	13至16件	17件及以上
顧客數（人）	x	30	25	y	10
結算時間（分鐘/人）	1	1.5	2	2.5	3

已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%．
（Ⅰ）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結算時間X的分布列與數學期望；
（Ⅱ）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．（注：將頻率視為概率）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可確定，y的值，將頻率視為概率，故可求相應的概率，由此可得X的分布列與數學期望；
（Ⅱ）記A：一位顧客一次購物的結算時間不超過2.5分鐘，X_i（i=1，2）為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則P（A）=P（（X₁=1且X₂=1）+P（（X₁=1且X₂=1.5）+P（（X₁=1.5且X₂=1），由于各顧客的結算相互獨立，且X_i（i=1，2）的分布列都與X的分布列相同，故可得結論．

解答：解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；
將頻率視為概率可得P（X=1）=

15

100

=0.15；P（X=1.5）=

30

100

=0.3；P（X=2）=

25

100

=0.25；P（X=2.5）=

20

100

=0.2；P（X=3）=

10

100

=0.1
X的分布列

X	1	1.5	2	2.5	3
P	0.15	0.3	0.25	0.2	0.1

X的數學期望為E（X）=1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1=1.9
（Ⅱ）記A：一位顧客一次購物的結算時間不超過2.5分鐘，X_i（i=1，2）為該顧客前面第i位顧客的結算時間，則
P（A）=P（（X₁=1且X₂=1）+P（（X₁=1且X₂=1.5）+P（（X₁=1.5且X₂=1）
由于各顧客的結算相互獨立，且X_i（i=1，2）的分布列都與X的分布列相同，所以
P（A）=0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15=0.1125
故該顧客結算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為0.1125．

點評：本題考查學生的閱讀能力，考查概率的計算，考查離散型隨機變量的期望，屬于中檔題．